[20210712] 최소 신장 트리(Minimum Spanning Tree)
최소 신장 트리란 무엇이며, 구현하는 방법에 대해 이야기 한다.
신장 트리(Spanning Tree)
신장 트리란 그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리이다. n개의 정점을 가지는 그래프에서 간선 (n-1)개로 모든 정점을 연결하면 이는 필연적으로 트리 형태를 띄며 연결된 그래프는 신장 트리이다. 하나의 그래프에는 여러 개의 신장 트리가 존재할 수 있다.
최소 신장 트리(Minimum Spanning Tree)
그래프 내의 모든 신장 트리 중에서 트리를 구성하는 간선들의 가중치의 합이 가장 작은 신장 트리를 최소 신장 트리라 한다. 도로 건설, 전기 회로, 통신, 배관 등의 사례에 주로 사용한다.
최소 신장 트리 구현
Kruskal MST
Greedy를 이용하여 최소 신장 트리를 찾는다.
- 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.
- 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.
- 해당 간선을 현재의 MST의 집합에 추가한다.
사이클 형성 여부를 파악하는 방법
- 추가하고자 하는 간선의 양 끝점이 같은 집합에 속해 있는지를 검사
- union find 알고리즘 이용
시간 복잡도
- 간선을 정렬 O(eloge)
- 정렬된 간선을 오름차순으로 접근 O(e)
- union find O(1)
모든 로직이 독립적이므로, Kruskal 알고리즘은 O(eloge)의 시간 복잡도를 가진다.
Prim MST
시작 정점부터 출발해서 신장 트리 집합을 확장해나가는 방법.
- 시작 정점을 신장 트리 집합에 추가한다.
- 신장 트리 집합에서 인접한 접점들 중에 최소 간선으로 연결된 정점을 신장 트리 집합에 추가한다.
- 신장 트리 집합이 n개의 정점으로 이루어 질 때까지 반복한다.
시간 복잡도
- 모든 정점을 방문 O(n)
- 신장 트리 집합이 아닌 정점으로의 최소 가중치를 찾음 O(n)
위 두 로직이 종속적이므로, Prim 알고리즘은 O(n) * O(n) = O(n^2^)의 시간 복잡도를 가진다.
결론
그래프 내에 간선 수가 적은 희소 그래프에는 Kruskal 알고리즘이 효율적이고, 그래프 내에 간선 수가 많은 밀집 그래프에는 Prim 알고리즘이 효율적이다.